DISEÑO Y CÁLCULO DE UNA CELDA DE 9 PUNTOS DE APOYO

INTRODUCCIÓN

Uno de los más graves problemas que se han tenido en el ámbito de la astronomía, tanto profesional como a nivel de aficionado, es el emplazamiento del espejo principal en su lugar definitivo en el telescopio. A un nivel profesional esto no es un problema, ya que hoy en día los grandes telescopios van equipados con un diseño de espejos múltiples con lo que se simplifica el diseño de celdas siendo estas más pequeñas y controladas independiente unas de otras, por un computador, el cual activa un sistema hidráulico que hace que todos los puntos de apoyo reciban la misma presión provocada por el peso del espejo.

Pero a nivel de aficionado esta tarea es algo más compleja si queremos que nuestro espejo no soporte ningún tipo de esfuerzo que contribuya a deformarlo. La industria dedicada a la construcción de telescopios de baja calidad elige, en mi opinión, soluciones desesperadas como, por ejemplo, apoyar sobre tres puntos un espejo de veinte o veinticinco centímetros de diámetro, o incluso pegar el espejo para fijarlo.

PRINCIPAL PROBLEMA: DEFORMACION DE LOS ESPEJOS.

Los objetivos construidos por aficionados incorporan en un 95% vidrio de ventana o de escaparate adquirido en cristalerías. A continuación se corta un disco circular, que por lo general suele tener un espesor de unos 15 mm, aunque también se pueden encontrar de 20 mm y, difícilmente de 30mm o superior. Partiendo de la base de que un espejo tiene que tener un grosor mínimo de 1/9 del diámetro e inexistencia de tensiones internas, no podríamos fabricar espejos mayores que unos 150 mm de diámetro. Si pusiésemos un objetivo apoyado sobre 3 puntos y que no tuviera un grosor mínimo de 1/9 del diámetro, con toda seguridad que habremos perdido el tiempo en tallar el espejo ya que, irremisiblemente se deformará por su propio peso con el transcurso del tiempo.

Para un constructor de telescopios de aficionado, la existencia de esta deformación del espejo nos lleva al diseño de celdas que mantengan la forma que se ha logrado por encima de todo, aunque ello implique el diseño de una celdilla mucho mas compleja pero que nos garantice que no se va a deformar el espejo, pues es evidente que es mucho más difícil retocar un espejo deformado que hacer una celdilla por muy compleja que esta sea.

DISEÑO DE CELDA PARA EL ESPEJO PRINCIPAL.

Nuestro propósito es diseñar un sistema para apoyar el espejo de nuestro telescopio, que por lo general suele ser demasiado delgado. Para ello diseñaremos una celdilla con 9 puntos de apoyo repartidos por todo el área del espejo (véase Fig. 1).

En esta celdilla (véase Fig. 1), no se indica el punto en el que cada triangulo va apoyado, pues será objeto de estudio más adelante.

Haciendo un análisis de fuerzas en un solo triángulo, aunque después llevaremos las conclusiones finales a los otros dos restantes, vemos que no es correcto poner el punto de apoyo del triangulo en el baricentro, como intuitivamente se suele hacer. Para resolver este problema, emplearemos los denominados momentos de torsión.

Fig. 1 Diseño de celdilla de 9 puntos

CALCULO DE LOS MOMENTOS DE TORSION.

Fig. 2.

Para poder entender lo que se produce cuando se apoya un espejo sobre un triángulo cuyo eje de giro pasa por su baricentro, lo compararemos con un cilindro en el que se han enrollado tres cuerdas, de las cuales una está enrollada en sentido horario y las otras dos en sentido antihorario (véase Fig. 2).

En la cuerda que cae por la derecha del cilindro se cuelga un peso de 2 Kg. y en las otras dos cuerdas restantes, separadas entre sí, se cuelgan un peso de 2 kg. en cada una respectivamente. Si el sistema se dejara en libertad, el cilindro giraría sobre su eje en sentido antihorario y, consecuentemente, el peso de la derecha subiría mientras que los pesos de la izquierda bajarían.

t = Fuerza x Distancia

De acuerdo con lo anterior, la fuerza que hace girar el cilindro es lo que se denomina momento de torsión (t) y viene dada por la expresión:

Aplicando esta herramienta a cada uno de los 3 triángulos de la celda de nuestro espejo, obtendremos el punto en el que se equilibraría todo el sistema y el espejo no recibiría ninguna fuerza, quedando “flotando” en el aire.

CÁLCULO DE LOS MOMENTOS DE TORSIÓN SOBRE UN TRIÁNGULO:

Para calcular los momentos de torsión de un triángulo, primero deberemos saber la fuerza que recibe cada punto de apoyo. Partiendo de que un espejo tiene una masa m, produce una presión sobre los 9 puntos de:

Donde:

g = 9.8 m/s²

a = área de un punto de apoyo

Aplicando la expresión anterior sobre un punto de apoyo, calculamos la fuerza que soporta solamente un punto de apoyo.

Conociendo la fuerza que soporta un punto del triángulo, procederemos a calcular t₁ y t₂ (véase Fig. 3). Para que nuestro triángulo quede en equilibrio, la suma de todos los momentos de torsión tienen que ser igual a cero. Por tanto tiene que cumplirse:

	S t = 0 t1 - t2 = 0

En la Fig. 3 se muestra el eje de giro que pasa por el centro de masas (CM) del triángulo (baricentro). Se muestra tambien los momentos de torsión t₁ y t₂ y la distancia D que es conocida. Nos disponemos a calcular d con la condicion de que la suma de todos los momentos de torsión sea cero.

2 x m x g x d m x g x ( D – d )

t₁ = ; t₂ =

9 9

t_{1 =} t₂

2 x m x g x d m x g x ( D – d )

=

9 9

Igualando ambas expresiones, obtenemos:

Con este diseño de celda no se le imprimirá ninguna fuerza al espejo, quedando éste “flotando” en el aire. El sostener el triangulo a una distancia d y no en el baricentro tiene grandes ventajas ya conocidas. A modo de información diremos que un espejo de 100 gramos de peso, se le imprime en el centro, con una celdilla mal calculada, unos

0.73 N por cada punto de apoyo en el centro. Como son tres puntos, recibiría en realidad unos 2.2 N en el centro. ¡Suficiente para deformarlo!

Jesús Ceacero Cruz

P.D.

Será conveniente que señales muy claramente en el último dibujo, el punto de apoyo final.

Un saludo